Cần phải lựa chọn một cách nghiêm ngặt xem nên học gì và không nên học gì ''

Ngày 21 tháng 09 năm 2018

ĐĂNG NHẬP TÀI KHOẢN

 » Tài nguyên » Các tổ chuyên môn

Tổ Toán

Cập nhật lúc : 17:03 03/12/2012  

Một số bài toán liên quan KSHS

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS

Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến của một đường cong

Để làm được các bài toán về viết phương trình tiếp tuyến của một đường cong y = f(x) các em cần nắm được kết quả quan trọng sau đây.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là một đường cong (C). M0(x0,y0) là một điểm thuộc (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0,y0) là: y = f’(x0)(x - x0) +  y0 (*)

Từ đó ta có các bài toán viết phương trình các tiếp tuyến của đường cong y = f(x) sau đây:

Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), tính f’(x0)

- Bước 2: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x0

Phương pháp :

- Bước 1: Thay x = x0 vào y = f(x) để tìm y0;

- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), tính f’(x0);

- Bước 3: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ là y0

Phương pháp:

- Bước 1: Thay y = y0 vào y = f(x) để tìm  x0

- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), tính f’(x0)

- Bước 3: Áp dụng công thức (*), đưa phương trình về dạng y = ax + b.

Bài toán 4 

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x),biết tiếp tuyến có hệ số góc k.

Phương pháp

-Bước 1:Gọi (x0;y0) tọa độ của tiếp điểm,vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên f’(x0) = k.

- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), giải pt f’(x0) = k  để tìm x0

- Bước 3: Tìm y0

- Bước 4: Áp dụng công thức (*)

Bài toán 5:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) song song với đường thẳng  y = ax + b

Phương pháp:

- Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng y = ax + b nên nó có hệ số góc là a

- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), giải pt f’(x0) = a để tìm x0

- Bước 3: Tìm y0

- Bước 4: Áp dụng công thức (*)

Bài toán 6

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) vuông góc với đường thẳng  y = ax + b

Phương pháp:

- Bước1: Vì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng y = ax +b nên nó có hệ số góc là -

- Bước 2: Tính đạo hàm cấp 1 f’(x), giải pt f’(x0)  = -  để tìm x0

- Bước 3: Tìm y0

- Bước 4: Áp dụng công thức (*)

Bài toán 7: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm M1(x1; y1)

Phương pháp:

- Bước 1: Đường thẳng đi qua M1 và có hệ số góc k có dạng  y = k(x - x1) + y1 (*);

- Bước 2: Đường thẳng này là tiếp tuyến của đường cong y = f(x) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

 

- Bước 3: Giải hệ phương trình ta tìm được k và x0;

- Bước 4: Thay k và x0 tìm được vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

* Chú ý: Số tiếp tuyến tìm được bằng số nghiệm của hệ phương trình trên

 * Những sai lầm mà học sinh hay mắc phải đó là: các em thay toạ độ điểm M1 vào y = f(x) thấy thoả mãn, các em sử dụng bài toán 1 để làm dẫn tới bài toán thiếu nghiệm. Do đó khi dạy cần nhấn mạnh để các em phân biệt sự khác nhau cơ bản giữa hai bài toán 1 và bài toán 7:

Bài toán 1: Tiếp tuyến “tại” một điểm (Chỉ có một đáp số);

Bài toán 7: Tiếp tuyến “Đi qua” một điểm, điểm đó có thể nằm trên hay không nằm trên  đường cong (Có thể ra nhiều đáp số) nên cần chú ý hai từ “ tại” hoặc “đi qua” để lựa chọn  bài toán 1 hoặc bài toán 6.

Ví dụ áp dụng:

1. Cho hàm số y = 4x3-6x2+4x -1 có đồ thị là (C).

a. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ là 2;

b. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x - 1

c. Chứng minh rằng trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng y – y0 = y’(x0)(x – x0)

a. Thay x0 = 2 và phương trình của (C) ta được y0 = 15

Ta có y’ = 12x2  - 12x  +  4 suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là y’(2) = 28.

Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm (2,15) là y = 28x - 41

b. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 4x - 1 nên hệ số góc của tiếp tuyến là

k = y’(x0) = 4 ta có :

y’(x0) = 4 12x20 -12x0+4 = 4            x20-x0 =0              

Phương trình tiếp tuyến tại (0, -1) là y =  4x – 1 (loại vì trùng với (d))

Phương trình tiếp tuyến tại (1, 1) là y =  4x – 3 thoả mãn

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y = 4x - 3

c. Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0 là 12x20 - 12x0  + 4 > 0 với mọi x0, do đó không thể tồn tại hai điểm x1, x2 để y’(x1).y’(x2) = -1, nghĩa là trên (C) không tồn tại hai tiếp tuyến vuông góc với nhau.

2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):  biết:

            a. Tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai

            b. Đi qua điểm (0, -2)

Hướng dẫn giải Phương trình tiếp tuyến có dạng y – y0 = y’(x0)(x  –  x0)

a.Với x 1, ta có y’ = . Vì tiếp tuyến vuông góc với đường phângiác của góc phần tư thứ hai là y = -x nên ta có:  (-1).f’(x0)  = -1  f’(x0) = 1

    (x0 - 1)2 = 1   

Vậy có hai tiếp tuyến là y = x + 2 và y = x - 2

b. Phương trình đường thẳng đi qua (0; -2) có dạng y = kx - 2.

Với x ≠ 1,  ∆ là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

                                                                               

Thay (2) vào (1) ta được:  suy ra 3x2 – 8x + 4 = 0  x =  hoặc x  =  2.

  • Với x = 2 thì k = 1: ta có tiếp tuyến y = x – 2.
  • Với x =  thì k = 9: ta có tiếp tuyến y = 9x – 2

Dạng 2: Sự tương giao giữa 2 đồ thị

Bài toán 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0 theo tham số m.

- Bước 1: Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = h(m) (1) với f(x) là đồ thị hàm số vừa khảo sát ở trên.

- Bước 2: (1) là phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng y = h(m), số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C) và đừơng thẳng y = h(m)

- Bước 3: Dựa vào đồ thị để biện luận (sử dụng các điểm cực đại, cực tiểu)

* Chú ý: Bài toán có thể chỉ hỏi một trường hợp: chẳng hạn dựa vào đồ thị để tìm m để phương trình có 1 nghiệm, 2 nghiệm, 3 nghiệm phân biệt . . .

Bài toán 2 : Biện luận theo tham số số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng có hệ số góc k ≠ 0 .

Phương pháp:

                  - Lập phương trình hoành độ giao điểm.

      - Đưa phương trình hoành độ về những pt quen thuộc đã biết cách giải như pt bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình bậc bốn trùng phương, ...

                  -Biện luận

Ví dụ 1: Cho hàm số y = - x3+ 3x + 1 (c)

 a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b. Dựa vào đồ thị (c) biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m. x3 – 3x + m = 0

Hướng dẫn giải:

a. Học sinh tự làm.

b. Phương trình  x3 – 3x + m = 0  - x3 + 3x + 1 =  m + 1

là phương trình hoành độ điểm chung của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y =  m + 1. Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của (C) và (d).

Dựa vào đồ thị ta thấy:

+ Nếu  thì (C) cắt (d) tại 1 điểm do đó pt có 1 nghiệm

+ Nếu  pt có hai nghiệm

+ Nếu  phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng đồ thị (C) của hàm số y =  luôn cắt đường thẳng y = m – x  m

Hướng dẫn

(C) luôn cắt (d) nếu phương trình  có nghiệm  m

Ta có              

Xét phương trình (2) có  = m2 + 8  > 0  và x = -1 không thoả mãn (2) nên phương trình luôn có hai nghiệm -1. Vậy (c) luôn cắt (d) tại hai điểm phân biệt.

Ví dụ 3: Tìm m để đồ thị hàm số y =  cắt đường thẳng (d) y = x + m tại hai điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường (d) là

             =  x + m (1)

Đồ thị hàm số y = cắt (d) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi pt (1) có hai nghiệm phân biệt, điều này tương đương với phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1

           

  • Chú ý: yêu cầu học sinh chỉ cần làm được các bài tập tương tự như ba ví dụ trên.

Dạng 3: Cực trị của hàm số:

Bài toán 1:Tìm tham số để hàm số y = f(x) có cực trị (có đúng một cực đại và một cực tiểu) (xét những bài toán mà y’ là tam thức bậc hai hoặc y’ là hàm phân thức mà tử thức là tam thứcbậc hai)

Phương pháp: Tính  y’, y = f(x) có cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 

 > 0 , giải bất phương trình  > 0 tìm được giá trị của tham số.

Bài toán 2: Chứng minh rằng hàm số y = f(x) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số

Phương pháp: Tính y’, tính  và khẳng định  > 0 với mọi giá trị của tham số, từ đó suy ra điều phải chứng minh

Bài tóan 3: Tìm tham số để hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x = x0. (chỉ luyện những hàm số bậc 3 và hàm trùng phương)

Cách 1:

Điều kiện cần:  nếu hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì f’(x0) = 0, từ đây tìm được các giá trị của tham số.

Điều kiện đủ: lần lượt thay giá các giá trị tham số tìm được vào hàm số y = f(x), xét sự biến thiên của tường hàm số tương ứng rồi kết luận

Cách 2:

            Hàm số đạt cực trị tiểu ( cực đại ) tại điểm x0 khi và chỉ khi

            , giải hệ ta tìm được giá trị của tham số

Ví dụ áp dụng:

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi m hàm số y = x-  mx- 2x + 1 luôn có một cực đại và một cực tiểu

Hướng dẫn giải

y’ = 3x- 2mx  - 2, có  = m+ 6  > 0 với mọi m

Do đó y’ luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Vậy hàm số có hai cực trị: một cực đại và một cực tiểu.

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = x3 - 2mx2 + m2x + 1 đạt cực tiểu tại x0 = 1.

 Hướng dẫn giải

            Ta có y’ = 3x2 – 4mx + m2

Hàm số đạt cực tiểu tại x0 = 1 khi và chỉ khi . Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3: Cho hàm số y = (m + 1)x- 2(m  - 1)x2. Tìm m để hàm số đạt 3 cực trị. Tại gốc toạ độ là điểm cực đại hay cực tiểu ?

Hướng dẫn giải

Ta có y’ = 4(m + 1)x- 4(m  - 1)x = 4x[(m + 1)x- (m - 1)]

y’ = 0

Hàm số đạt ba cực trị khi và chỉ khi    m >1 hoặc m < -1

Vậy với m < -1 hoặc m > 1 thì hàm số có 3 cực trị.

Khi đó hoành độ các điểm cực trị là: x1= 0 , x2,3=

y’’=12(m + 1)x- 4(m - 1) y’’(0) = -4(m - 1)

Nếu m > 1 thì y’’(0) < 0 do đó gốc toạ độ là điểm cực đại

Nếu m < 1 thì y’’(0)  > 0 do đó gốc toạ độ là điểm cực tiểu.

Ví dụ 4: Cho hàm số y =

Tìm m để đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu?

Hướng dẫn giải

Ta có y’ = (m +1)x- 2(m + 2)x + m + 3,    y’’= 2(m + 1)x - 2(m + 2)

 

Hàm số đạt cực tiểu tại O(0,0) khi và chỉ khi:

m=-3

Vậy với m = -3 thì đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm điểm cực tiểu.

B.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Cho hàm số y =-x+ 3x- 3x + 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Gọi A là giao điểm của (C) và trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) tại A.

Bài 2: Cho hàm số y = 2x- 3x2

1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Một đường thẳng d đi qua gốc toạ độ O có hệ số góc m. Biện luận số giao điểm của (C) và d theo m.

Bài 3: Cho hàm số y = x(3 - x)2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Một đường thẳng đi qua gốc toạ có hệ số góc k . Với giá trị nào của k thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt.

Bài 4: Cho hàm số y = x3 -  mx  + m  –  2 , m là tham số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Dùng đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của phương trình  x- 3x – k + 1 = 0.

Bài 5: Cho hàm số y = x- 3x+ 3mx + 3m + 4

1. Xác định m để hàm số có cực trị

2. Xác định m để (Cm) nhậ I(1,2) làm điểm uốn

3. Xác định m để trục hoành là tiếp tuyến của đường cong(Cm).

Bài 6: Cho hàm số y = 2x2-x4

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x- 2x+ m  = 0.

Bài 7: Cho hàm số y =  – ax2+b

1. Tìm a và b để hàm số đạt cực trị bằng -2 khi x = 1

2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số(C) với giá trị a và b tìm được ở câu a..

Bài 8: Cho hàm số y = x- 2(m + 1)x+ 2m + 1 , m là tham số (Cm)

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0 .

2. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.Tìm hoành độ các giao điểm đó.

Bài 9: Cho hàm số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm (0,2) và tiếp xúc với đồ thị (C).

Bài10: Cho hàm số , m là tham số

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.

2. Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

 

Tài liệu phụ đạo lớp 12(Sưu tầm)