Chúng ta có thể dạy dựa trên kinh nghiệm, nhưng chúng ta không thể dạy các bài học kinh nghiệm "

Ngày 19 tháng 07 năm 2018

ĐĂNG NHẬP TÀI KHOẢN

 » Tài nguyên » Các tổ chuyên môn

Tổ Toán

Cập nhật lúc : 22:24 08/01/2014  

PHUONG PHAP HOC HINH KGTĐ VÀ MẶT PHẲNG TĐ

PHƯƠNG PHÁP HỌC HÌNH HỌC  MẶT PHẲNG  TỌA ĐỘ

VÀ  KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ

 

A.Mối liên hệ giữa hệ tọa độ trong mặt phẳng và hệ tọa độ trong không gian:

HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.Hệ tọa độ:

a) Định nghĩa:

            Trong mặt phẳng cho hai trục x’ox, y’oy vuông góc với nhau. Gọi ,  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’ox, y’oy.

            Hệ hai trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề Các hay hệ tọa độ Oxy.

  • Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
  • Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng Oxy.

b) Tọa độ của vectơ:

            Trong mặt phẳng Oxy cho  tùy ý. Vẽ . Gọi A1 Và A2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lê Ox và Oy. Ta có:  và cặp số duy nhất (x;y) để , . Do đó:

  • · Cặp số (x;y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ Oxy và viết hoặc .
  • · Như vậy:
  • · Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ của các vectơ sau:

i)                       

j)                     

k)                

l)         

Nhận xét: Trong mặt phẳng Oxy cho hai vectơ , . Khi đó:

 

 

1.Hệ tọa độ:

a) Định nghĩa:

            Trong không gian cho 3 trục x’ox, y’oy, z’oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi , ,  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’ox, y’oy, z’oz.

            Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz.

  • Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
  • Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

b) Tọa độ của véctơ:

            Trong không gian Oxyz cho véctơ  tùy ý. Vẽ . Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox, Oy, Oz. Ta có:  và bộ 3 số duy nhất (x;y;z) để , , . Do đó:

 

  • · Bộ 3 số (x;y;z) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ Oxyz và viết  hoặc
  • · Như vậy: 
  • · Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ của các vectơ sau:

i)                       

j)                     

k)        

l)  

Nhận xét: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ , . Khi đó:

 

2.Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong mặt phẳng:

2.1.Định lý: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 vectơ , ta có:

a)

b)

c)

2.2.Hệ quả:

a) cho 2 vectơ , . Vectơ  và  cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho  hay .

b) Vectơ  là vectơ có tọa độ (0;0).

2.3.Các tính chất của tích vô hướng:

            Với 3 vectơ  bất kỳ và mọi số thực k ta có:

a)

b)

c)

d)

2.4.Nhận xét:

 

 

 

2.5.Ví dụ:

Cho . Tìm . Chứng minh  và  không cùng phương.

Ta có:

           

Suy ra:

Ta có:  nên không có  để . Do đó  và  không cùng phương.

2.6.Tọa độ của một điểm:

            Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

 

2.7.Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng:

            Cho 2 điểm . Ta có:

2.Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian:

2.1.Định lý: Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ , ta có:

a)

b)

c)

2.2.Hệ quả:

a) cho 2 vectơ ,

. Vectơ  và  cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho  hay .

b) Vectơ  là vectơ có tọa độ .

2.3.Các tính chất của tích vô hướng:

            Với 3 vectơ  bất kỳ và mọi số thực k ta có:

a)

b)

c)

d)

2.4.Nhận xét:

 

 

 

2.5.Ví dụ:

Cho . Tìm . Chứng minh  và  không cùng phương.

Ta có:

           

Suy ra:

 

Ta có:  nên không có  để . Do đó  và  không cùng phương.

2.6.Tọa độ của một điểm:

            Trong không gian Oxyz cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ Oxyz được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

2.7.Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong không gian:

            Cho 2 điểm Ta có:

3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ trong mặt phẳng Oxy:

3.1.Tích vô hướng trong mặt phẳng Oxy:

            Trong mặt phẳng Oxy cho 2 vectơ , . Tích vô hướng của hai vectơ  và   được xác định bởi công thức:

3.2.Ứng dụng:

3.2.1.Độ dài của vectơ được xác định:

3.2.2.Khoảng cách giữa 2 điểm, :

 

3.2.3.Góc giữa hai vectơ , :

 

3.2.4.Ví dụ:

            Trong mặt phẳng Oxy cho 2 vectơ ,  và 2 điểm , :

a) Tìm độ dài của vectơ  và :

Ta có: 

 

 

hoặc:

b) Tính tích vô hướng của 2 vectơ  và

Ta có:

c) Tìm góc  giữa 2 vectơ  và :

Ta có:

 

 

3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ trong không gian Oxyz:

3.1.Tích vô hướng trong không gian Oxyz:

            Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ , . Tích vô hướng của hai vectơ  và   được xác định bởi công thức:

3.2.Ứng dụng:

3.2.1.Độ dài của vectơ được xác định:

3.2.2.Khoảng cách giữa 2 điểm, :

 

3.2.3.Góc giữa hai vectơ , :

3.2.4.Ví dụ:

            Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ ,  và 2 điểm , :

a) Tìm độ dài của vectơ  và :

Ta có: 

 

 

hoặc:

b) Tính tích vô hướng của 2 vectơ  và

Ta có:

c) Tìm góc  giữa 2 vectơ  và :

Ta có:

 

4.Phương trình của đường tròn:

4.1.Phương trình của đường tròn:

            Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R. Ta có:

 

 

 

4.2.Nhận xét:

Từ phương trình  của đường tròn (C) ta có:

 

 

 

Trong đó:

; ;

            Phương trình  cũng là phương trình đường tròn (C) tâm , bán kính

4.3.Ví dụ:

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a)

Ta có:

 

    

Vậy  có tâm I(1;1); bán kính R=2

b)

Ta có:

 

 

 

Vậy  có tâm

Bán kính:

 

4.Phương trình của mặt cầu:

4.1.Phương trình của mặt cầu:

            Trong không gian Oxyz cho Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R. Ta có:

 

 

 

4.2.Nhận xét:

Từ phương trình  của mặt cầu (S) ta có:

 

 

Trong đó:

; ; ;

            Phương trình  cũng là phương trình mặt cầu (S) tâm , bán kính

4.3.Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a)

Ta có:

 

   

Vậy  có tâm I(1;1;-1); bán kính R=2

b)

Ta có:

 

 

Vậy  có tâm:

 

Bán kính:

 

 

5.Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy:

5.1.Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với đường thẳng .

5.2.Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng .

5.3.Cho đường thẳng  đi qua  có vectơ pháp tuyến  thì có phương trình

            Phương trình Ax + By + C = 0 trong đó C = -Ax0 - By0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

5.4.Cho  và đường thẳng  có phương trình: Ax + By + C = 0. Khi đó:

5.Chú ý: Trong không gian Oxyz:

5.1.Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  nếu giá của nó vuông góc với mặt phẳng .

5.2.Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của mặt phẳng  nếu giá của nó song song hoặc nằm trên mặt phẳng .

5.3.Cho mặt phẳng  đi qua  có vectơ pháp tuyến  thì có phương trình

            Phương trình Ax + By + Cz + D= 0 trong đó D = -Ax0 - By0 - Cz0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

5.4.Cho  và mặt phẳng  có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:

B.Một số bài tập ứng dụng:

HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua M(2;3) có vectơ pháp tuyến

Giải: Đường thẳng  đi qua M(2;3) có vectơ pháp tuyến  nên có phương trình:

 

Phương trình  là phương trình tổng quát của đường thẳng .

 

Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  đi qua M(2;3;4) có vectơ pháp tuyến

Giải: Mặt phẳng  đi qua M(2;3;4) có vectơ pháp tuyến  nên có phương trình:

 

 

(*).

Phương trình (*) là phương trình tổng quát của mặt phẳng .

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn:

Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Giải: Ta có:

 

 

 

Vì (C):

 

Nên

Vậy tâm của đường tròn là I(-2;3), bán kính của đường tròn R = 5.

Bài 2: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu:

 

Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu (S).

Giải: Ta có:

 

 

 

Vì (S):

Nên .

Vậy tâm của mặt cầu (S) là , bán kính của mặt cầu (S) là:

R = 5.

PHƯƠNG PHÁP HỌC HÌNH HỌC  MẶT PHẲNG  TỌA ĐỘ

VÀ TRONG KHÔNG GIAN TỌA ĐỘ

 

A.Mối liên hệ giữa hệ tọa độ trong mặt phẳng và hệ tọa độ trong không gian:

HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1.Hệ tọa độ:

a) Định nghĩa:

            Trong mặt phẳng cho hai trục x’ox, y’oy vuông góc với nhau. Gọi ,  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’ox, y’oy.

            Hệ hai trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề Các hay hệ tọa độ Oxy.

  • Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
  • Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ tọa độ Oxy được gọi là mặt phẳng Oxy.

b) Tọa độ của vectơ:

            Trong mặt phẳng Oxy cho  tùy ý. Vẽ . Gọi A1 Và A2 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lê Ox và Oy. Ta có:  và cặp số duy nhất (x;y) để , . Do đó:

  • · Cặp số (x;y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ Oxy và viết hoặc .
  • · Như vậy:
  • · Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tọa độ của các vectơ sau:

i)                       

j)                     

k)                

l)         

Nhận xét: Trong mặt phẳng Oxy cho hai vectơ , . Khi đó:

 

 

1.Hệ tọa độ:

a) Định nghĩa:

            Trong không gian cho 3 trục x’ox, y’oy, z’oz vuông góc với nhau từng đôi một. Gọi , ,  lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục x’ox, y’oy, z’oz.

            Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Đề Các vuông góc Oxyz.

  • Điểm O được gọi là gốc tọa độ.
  • Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn gọi là không gian Oxyz.

b) Tọa độ của véctơ:

            Trong không gian Oxyz cho véctơ  tùy ý. Vẽ . Gọi A1, A2, A3 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên Ox, Oy, Oz. Ta có:  và bộ 3 số duy nhất (x;y;z) để , , . Do đó:

 

  • · Bộ 3 số (x;y;z) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ Oxyz và viết  hoặc
  • · Như vậy: 
  • · Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tìm tọa độ của các vectơ sau:

i)                       

j)                     

k)        

l)  

Nhận xét: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ , . Khi đó:

 

2.Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong mặt phẳng:

2.1.Định lý: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 vectơ , ta có:

a)

b)

c)

2.2.Hệ quả:

a) cho 2 vectơ , . Vectơ  và  cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho  hay .

b) Vectơ  là vectơ có tọa độ (0;0).

2.3.Các tính chất của tích vô hướng:

            Với 3 vectơ  bất kỳ và mọi số thực k ta có:

a)

b)

c)

d)

2.4.Nhận xét:

 

 

 

2.5.Ví dụ:

Cho . Tìm . Chứng minh  và  không cùng phương.

Ta có:

           

Suy ra:

Ta có:  nên không có  để . Do đó  và  không cùng phương.

2.6.Tọa độ của một điểm:

            Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

 

2.7.Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng:

            Cho 2 điểm . Ta có:

2.Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ trong không gian:

2.1.Định lý: Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ , ta có:

a)

b)

c)

2.2.Hệ quả:

a) cho 2 vectơ ,

. Vectơ  và  cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho  hay .

b) Vectơ  là vectơ có tọa độ .

2.3.Các tính chất của tích vô hướng:

            Với 3 vectơ  bất kỳ và mọi số thực k ta có:

a)

b)

c)

d)

2.4.Nhận xét:

 

 

 

2.5.Ví dụ:

Cho . Tìm . Chứng minh  và  không cùng phương.

Ta có:

           

Suy ra:

 

Ta có:  nên không có  để . Do đó  và  không cùng phương.

2.6.Tọa độ của một điểm:

            Trong không gian Oxyz cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ  đối với hệ tọa độ Oxyz được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

2.7.Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong không gian:

            Cho 2 điểm Ta có:

3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ trong mặt phẳng Oxy:

3.1.Tích vô hướng trong mặt phẳng Oxy:

            Trong mặt phẳng Oxy cho 2 vectơ , . Tích vô hướng của hai vectơ  và   được xác định bởi công thức:

3.2.Ứng dụng:

3.2.1.Độ dài của vectơ được xác định:

3.2.2.Khoảng cách giữa 2 điểm, :

 

3.2.3.Góc giữa hai vectơ , :

 

3.2.4.Ví dụ:

            Trong mặt phẳng Oxy cho 2 vectơ ,  và 2 điểm , :

a) Tìm độ dài của vectơ  và :

Ta có: 

 

 

hoặc:

b) Tính tích vô hướng của 2 vectơ  và

Ta có:

c) Tìm góc  giữa 2 vectơ  và :

Ta có:

 

 

3.Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ trong không gian Oxyz:

3.1.Tích vô hướng trong không gian Oxyz:

            Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ , . Tích vô hướng của hai vectơ  và   được xác định bởi công thức:

3.2.Ứng dụng:

3.2.1.Độ dài của vectơ được xác định:

3.2.2.Khoảng cách giữa 2 điểm, :

 

3.2.3.Góc giữa hai vectơ , :

3.2.4.Ví dụ:

            Trong không gian Oxyz cho 2 vectơ ,  và 2 điểm , :

a) Tìm độ dài của vectơ  và :

Ta có: 

 

 

hoặc:

b) Tính tích vô hướng của 2 vectơ  và

Ta có:

c) Tìm góc  giữa 2 vectơ  và :

Ta có:

 

4.Phương trình của đường tròn:

4.1.Phương trình của đường tròn:

            Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R. Ta có:

 

 

 

4.2.Nhận xét:

Từ phương trình  của đường tròn (C) ta có:

 

 

 

Trong đó:

; ;

            Phương trình  cũng là phương trình đường tròn (C) tâm , bán kính

4.3.Ví dụ:

Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau:

a)

Ta có:

 

    

Vậy  có tâm I(1;1); bán kính R=2

b)

Ta có:

 

 

 

Vậy  có tâm

Bán kính:

 

4.Phương trình của mặt cầu:

4.1.Phương trình của mặt cầu:

            Trong không gian Oxyz cho Mặt cầu (S) tâm I(a;b;c), bán kính R. Ta có:

 

 

 

4.2.Nhận xét:

Từ phương trình  của mặt cầu (S) ta có:

 

 

Trong đó:

; ; ;

            Phương trình  cũng là phương trình mặt cầu (S) tâm , bán kính

4.3.Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a)

Ta có:

 

   

Vậy  có tâm I(1;1;-1); bán kính R=2

b)

Ta có:

 

 

Vậy  có tâm:

 

Bán kính:

 

 

5.Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy:

5.1.Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng  nếu giá của nó vuông góc với đường thẳng .

5.2.Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng  nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng .

5.3.Cho đường thẳng  đi qua  có vectơ pháp tuyến  thì có phương trình

            Phương trình Ax + By + C = 0 trong đó C = -Ax0 - By0 được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng

5.4.Cho  và đường thẳng  có phương trình: Ax + By + C = 0. Khi đó:

5.Chú ý: Trong không gian Oxyz:

5.1.Vectơ  được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng  nếu giá của nó vuông góc với mặt phẳng .

5.2.Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của mặt phẳng  nếu giá của nó song song hoặc nằm trên mặt phẳng .

5.3.Cho mặt phẳng  đi qua  có vectơ pháp tuyến  thì có phương trình

            Phương trình Ax + By + Cz + D= 0 trong đó D = -Ax0 - By0 - Cz0 được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng

5.4.Cho  và mặt phẳng  có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Khi đó:

B.Một số bài tập ứng dụng:

HỆ TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát của đường thẳng  đi qua M(2;3) có vectơ pháp tuyến

Giải: Đường thẳng  đi qua M(2;3) có vectơ pháp tuyến  nên có phương trình:

 

Phương trình  là phương trình tổng quát của đường thẳng .

 

Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  đi qua M(2;3;4) có vectơ pháp tuyến

Giải: Mặt phẳng  đi qua M(2;3;4) có vectơ pháp tuyến  nên có phương trình:

 

 

(*).

Phương trình (*) là phương trình tổng quát của mặt phẳng .

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn:

Tìm tâm và bán kính của đường tròn

Giải: Ta có:

 

 

 

Vì (C):

 

Nên

Vậy tâm của đường tròn là I(-2;3), bán kính của đường tròn R = 5.

Bài 2: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu:

 

Hãy tìm tâm và bán kính mặt cầu (S).

Giải: Ta có:

 

 

 

Vì (S):

Nên .

Vậy tâm của mặt cầu (S) là , bán kính của mặt cầu (S) là:

R = 5.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát tiếp tuyến d của đường tròn:

 tại điểm .

Giải: Ta có: Tâm của đường tròn  là I(2;-3).

Tiếp tuyến d của  tại   có vectơ pháp tuyến  do đó có phương trình:

 

 

 

 

Phương trình  là phương trình tổng quát của tiếp tuyến d.

 

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxyz, viết phương trình tổng quát của mặt phẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S):

 

Tại điểm M(2;1;4).

Giải: Ta có:

*Tâm của mặt cầu (S) là I(2;-3;1)

*Mặt phẳng  tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M(2;1;4) nên có vectơ pháp tuyến  do đó có phương trình:

 

 

 (*)

Phương trình (*) là phương trình tổng quát của mặt phẳng  cần tìm.

 

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy xác định vị trí tương đối của đường tròn (C):  và đường thẳng : .

Giải:

*Đường tròn (C) có tâm I(2;-3), bán kính R=5

*Ta có:

 

*Vì  nếu d cắt (C).

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxyz xác định vị trí tương đối của mặt cầu (S):

 

với mặt phẳng ():

Giải:

*Mặt cầu (S) có tâm I(2;-3;1) và có bán kính R = 5.

*Ta có: d(I,(

*Vì d(I,()) < R nên () cắt (S).

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn

(C): .

Biết rằng tiếp tuyến này song song với đường thẳng d: .

Giải:

*Đường tròn (C) có tâm I(2;-3), bán kính R = 5.

*Gọi  là đường thẳng song song với d: . Nên:

:

* là tiếp tuyến của (C)  d(I,) = R

 

  

*Vậy tiếp tuyến cần tìm là:

 

 

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxyz viết phương trình mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu (S):

 

Tìm tâm và bán kính của mặt cầu (S). Biết rằng mặt phẳng () song song với mặt phẳng (P): .

Giải:

*Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0), bán kính .

*

Suy ra mặt phẳng  có phương trình:

 

*() tiếp xúc với (S)

 

 

*Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn bài toán:

():  

():

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(4; 5), B(2; 2), C(6; 2). Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.

Giải: 

*Ta có:

              

*Vì  nên không tồn tại một số  để cho . Do đó  cùng phương. Suy ra 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

*

 

*Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(4;-1;2), B(1;2;2), C(1;-1;5). Chứng minh rằng ABC là tam giác cân:

Giải: Ta có:

 

 

*Vì không tồn tại một số  để cho:

. Do đó  không cùng phương. Suy ra 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.

 

 

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy cho 3 điểm A(1;3), B(2;1), C(5;3).

a)    Tìm tọa độ của

b)    Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Giải:

a) Ta có:

 

 

 Do đó

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành

 

 

Vậy D(4;5).

Bài 7: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;-1;1), B(0;1;2), C(1;0;1).

a)    Tìm tọa độ của

b)    Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

Giải:

a) Ta có:

 

 

 Do đó

b) Tứ giác ABCD là hình bình hành

 

Vậy D(2;-2;0).

Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy cho  với A(1;-3), B(5;5), C(-2;6). Tìm phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp .

Giải:

*Gọi (C):  

với  là đuờng tròn cần tìm.

* Vì (C) đi qua 3 điểm A(1;-3), B(5;5), C(-2;6) nên có hệ phương trình:

 

 

 

* Vậy đường tròn (C) ngoại tiếp  có phương trình:

 

Bài 8: Trong không gian Oxyz cho tứ diện  với:

A(1;1;0), B(3;1;2), C(-1;1;2), D(1;-1,2). Tìm phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Giải:

*Gọi (S):  với  là mặt cầu cần tìm.

* Vì (S) đi qua a điểm A(1;1;0), B(3;1;2), C(-1;1;2), D(1;-1,2) nên có hệ phương trình:

 

 

* Vậy mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình:

 

Bài 9: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thẳng:

 

 

Chứng minh rằng:

Giải:

* Vectơ pháp tuyến của đường thẳng là

   Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là

* Vì

Nên .

Bài 9: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng:

 

 

Chứng minh rằng:

Giải:

* Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là

   Vectơ pháp tuyến của đường thẳng ( là

* Vì

Nên .

Bài 10: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng : . Viết phương trình đường thẳng d biết rằng d đi qua  và song song với .

Giải:

*Vì :

Suy ra d:

*Mặt khác d đi qua  nên ta có:

*Vậy đường thẳng d cần tìm có phương trình tổng quát là:

 

 

Bài 10: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng : . Viết phương trình mặt phẳng () đi qua  và song song với mặt phẳng (P).

Giải:

*Vì :

Suy ra:

():

*Mặt khác () đi qua  nên ta có:

 

*Vậy mặt phẳng () cần tìm có phương trình tổng quát là:

 

Bài 11: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm . Viết phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn AB.

Giải:

*Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là:

 

*Đường trung trực của đoạn AB là đường thẳng  đi qua I(3;4) nhận vectơ  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

 

 

 

*Phương trình  là phương trình tổng quát đường trung trực của đoạn AB.

 

Bài 11: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm . Viết phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Giải:

*Tọa độ trung điểm I của đoạn AB là:

 

*Mặt phẳng trung trực của đoạn AB là mặt phẳng () đi qua I(3;4;4) nhận vectơ  làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

 

 

 

 

*Phương trình  là phương trình tổng quát mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Bài 12: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thẳng:

 

 

Hãy tìm góc  của 2 đường thẳng  và .

Giải:

*Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là

*Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là

*

*

*

 

Bài 12: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng:

 

(

Hãy tìm góc  của 2 mặt phẳng ( và (.

Giải:

*Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (là

*Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( là

*

*

*

 

Bài 13: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(1;1) và B(9;7). Tìm quỹ tích các điểm M sao cho:

.

Giải: Gọi M có tọa độ là (x;y) ta có:

 

 

 

 

 

 

Vậy quỹ tích của các điểm M là đường tròn (C) tâm I(5;4), có bán kính R =

Bài 13: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A(1;1;1) và B(3;3;3). Tìm quỹ tích các điểm M sao cho .

Giải: Gọi M có tọa độ là (x;y;z) ta có:

 

 

 

 

 

 

Vậy quỹ tích của các điểm M là mặt cầu (S) tâm I(2;2;2), có bán kính R =

Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với hai trục Ox, Oy đồng thời đi qua M(2;1).

Giải:

*Theo giả thiết đường tròn (C) có dạng:

 

*Vì (C) đi qua M(2;1) nên ta có:

 

 

 

*Vậy có 2 đường tròn (C) thỏa mãn điều kiện bài toán:

 

 

Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với ba trục Ox, Oy, Oz đồng thời đi qua M(2;1;1).

Giải:

*Theo giả thiết mặt cầu (S) có dạng:

 

*Vì (S) đi qua M(2;1;1) nên ta có:

 

 

 

 

*Vậy có 2 mặt cầu (S) thỏa mãn điều kiện bài toán:

 

 

C : Bổ sung 32 bài tập minh chứng để làm sáng tỏ đề tài trong năm học 2009-2010

Bài15:  Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A ( 1; 4 ) B ( - 1; 2 ) và

đường thẳng

a/ Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với đường thẳng

D : 2x + 3y – 5 = 0

b/ Tìm M thuộc  sao cho MA2 +MB2 là nhỏ nhất

Giải :

a/ Trọng tâm của tam giác OAB là

G (0 ; 2). Đường thẳng d qua G (0 ; 2 ) và vuông góc với đường thẳng

D : 2x + 3y – 5 = 0 nên nhận VTPT của đường thẳng này là  làm VTCP, do đó có :

 

b/ M thuộc  nên M ( 1- t ; - 2 + t )

   

 

 

 

 

MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi

t = 11/4. lúc đó

Bài 15: Trong không gian Oxyz cho 2 điểm A ( 1 ; 4 ; 2 ) B( -1; 2; 4 ) và đường thẳng    

a/ Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng ( OAB )

b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc  sao cho MA2 + MB2 là nhỏ nhất

Giải :

a/ Trọng tâm của tam  giác OAB là

G ( 0; 2; 2 ).   

Đường thẳng d đi qua G ( 0; 2; 2 ) và vuông góc với mặt phẳng ( OAB ) nên nhận VTPT của (OAB ) là làm VTCP, do đó có

 

b/ Điểm M thuộc  nên M (1 – t;-2 + t; 2t )

 

 

 

MA2 + MB2 đạt giá trị nhỏ nhất khi t = 2. lúc đó

M ( -1 ; 0 ; 4 )

 

Bài16: Trong mặt phẳng Oxy, xét vị trí tương đối của các đường thẳng sau đây :

a/ và  

b/ và

c/và

 

Giải :

a/ Ta có  d1 cắt d2

b/ Ta có  d1 song song d2

c/ Ta có  d1 trùng

 

Bài16: Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các mặt phẳng sau đây :

a/  và

b/  và

c/  và

 

 

 

 

Giải :

 

a/ Ta có   cắt

b/ Ta có  song song

c/ Ta có  trùng

 

 

Bài17: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2 ; 5 ), B (4 ; 9 ). Viết phương trình đường tròn ( C) đường kính AB

 

Giải :

Đường tròn (C ) có tâm I (3; 7 ) là trung điểm của đoạn AB, có bán kính  nên có phương trình :

 

 

Bài17: Trong không gian Oxyz cho hai điểm  và . Viết phương trình mặt cầu ( S) đường kính AB

 

Giải  :

Mặt cầu (S) có tâm là trung điểm của đoạn AB , có bán kính  nên có phương trình là :

 

Bài18: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn

 và đường thẳng

a/ Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn ( C)

b/ Tìm tọa độ giao điểm A, B của  với đường tròn ( C)

c/ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) tại 2 điểm A, B.

 

 

Giải :

 

a/ Đường tròn ( C ) có tâm I ( -1; -2 ), bán kính

b/ Tọa độ giao điểm của ( C ) với  là nghiệm của hê :

 

 

 

Vậy có 2 giao điểm  và

 

c/ Tiếp tuyến của đường tròn ( C ) tại  là đường thẳng (d ) qua A có VTPT  nên có phương trình là :

 

+) Tương tự ta có phương trình tiếp tuyến tại  là :

 

 

Bài18: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S ) có phương trình :

và đường thẳng

a/ Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S )

b/ Tìm tọa độ giao điểm A, B của đường thẳng  vơi mặt cầu (S )

c/ Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S ) tại A và B

 

Giải :

 

a/ Tâm  và bán kính

b/ Tọa độ giao điểm của (S ) cới  là nghiệm của hệ :

 

Vậy  cắt (S ) tại 2 điểm  và

 

 

 

 

c/ Tiếp diện của mặt cầu (S ) tại  là mặt phẳng  qua  và nhận  làm VTPT nên có phương trình là

 

Tương tự ta có tiếp diện của mặt cầu (S ) tại  là

Bài19: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C ) biết tiếp tuyến này song song với đường thẳng

 

Giải :

 

Đường tron (C ) có tâm I(3; 2 ) bán kính R = 5

Gọi (d ) là đường thẳng song song với  suy ra

Đường thẳng (d ) là tiếp tuyến của (C ) nên ta có :

 

 ( thỏa điều kiện )

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

 

 

Bài19: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu

Viết phương trình tiếp diện (P ) của mặt cầu biết tiếp diện này song song với mặt phẳng :

 

Giải :

 

Mặt cầu (S ) có tâm , có bán kính R = 6

Ta có mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng (Q ) nên (P ) có dạng :

 

(P ) là tiếp diện của mặt cầu (S ) nên

 

Vậy tiếp diện cần tìm là :

 

 

Bài 20: Cho đường tròn  :

a/ Tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn, biết tiếp tuyến đi qua

Giải :

a/ Tâm  bán kính R = 5

b/ Gọi (d ) là đường thẳng qua và có VTPT là nên có phương trình là :

 

Đường thẳng (d ) là tiếp tuyến của đường tròn( C ) nên

 

 

 

 

 

Với  chọn

Với A= 2B chọn

Vậy PTTT cần tìm là :

 

Bài 20: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) :

a) Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S)

b) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đi qua M(3;-2;4)

 

Giải :

a/ Tâm (2;-4;3)  bán kính R = 6

b/ Gọi ( ) là mặt phẳng đi qua M(3;-2;4)

và có VTPT  nên có phương trình A(x+3) +B(y+2)+C(z-4) = 0

Ax + By +Cz +3A +2B - 4C = 0

Mặt phẳng ( ) là tiếp diện của mặt cầu (S) d(I,( )) =R

 

 

 

 

 

Hỏi trong trường hợp này có bao nhiêu tiếp diện

 

Bài 21: Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

 

Giải :

Phương trình theo đoạn chắn

 ( *)

Phương trình (* ) là PTTQ của đường thẳng cần tìm

Bài 21: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm . Viết phương trình mặt phẳng  đi qua 3 điểm A, B, C.

 

Giải :

Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn :

 (* )

(* ) là PTTQ của mặt phẳng

Bài 22:  Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm

Chứng minh rằng tập hợp các điểm M thỏa  là đường tròn (C ). Viết phương trình đường tròn đó.

 

Giải

Gọi M ( x; y )

Ta có

 

 

 

 

Vậy tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn  là đường tròn có tâm  bán kính , có phương trình là

 

Bài 22: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm

Chứng minh rằng tập  hợp các điểm M thỏa mãn  là một mặt cầu (S ). Viết phương trình mặt cầu đó.

 

Giải :

Ta có :

 

 

Vậy tập hợp cá điểm M thỏa điều kiên bài toán là mặt cậu (S ) tâm  bán kính , có phương trình là

Bài 23:  Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 điểm  và đường thẳng

Viết phương trình đường tròn (C ) đi qua 2 điểm A, B có tâm thuộc đường thẳng

 

Giải :

Gọi

( điều kiện  )

Ta có hệ :

 

Vậy

Bài 23: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm  và mặt phẳng

Viết phương trình mặt cầu (S ) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P )

 

Giải :

Gọi

( điều kiện )

Vì (S ) đi qua 3 điểm A, B< C và có tâm thuộc (P ) nên ta có hệ :

 

Vậy mặt cầu (S ) có phương trình

Bài 24: Cho 2 đường thẳng

a/ Chứng minh

b/ Tính khoảng cách từ  đến 

 

giải :

a/ Ta có nên

b/ Lấy

khi đó

Bài 24: Cho 2 mặt phẳng

a/ Chứng minh (P ) // (Q )

b/ Tính khoảng cách từ (P ) đến (Q )

 

Giải :

a/ Ta có  nên (P ) // (Q )

b/ Lấy

khi đó

Bài 25: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng

 

Giải :

Gọi d là đường thẳng qua  và vuông góc với  nên phương trình của d có dạng :

Tọa độ giao điểm của d và  là nghiệm của hệ

 

Vậy tọa độ hình chiếu của M lên  là

Bài 25: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm  lên mặt phẳng

 

Giải :

Gọi  là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (P ) nên phương trình của  có dạng

Tọa độ giao điểm của  và (P ) là nghiệm của hệ phương trình :

 

Vậy tọa độ hình chiếu của M lên (P ) là

Bài 26: Cho điểm M(2 ; 5 ) và đường thẳng

a/ Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua

b/ Viết phương trình đường thẳng  đối xứng với  qua M

Giải :

a/ Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với  nên phương trình của d có dạng

gọi , tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình

 

Suy ra

Vì M’ là điểm đối xứng với M qua  nên I là trung điểm của MM’

Ta có \

Vậy

 

b/ Gọi  là đường thẳng song song với , ta có phương trình của  có dạng

 đối xứng với  qua M khi và chỉ khi

 

 

đối chiếu  điều kiện ta có  không thỏa mãn

vậy phương trình của  là

Bài 26: Cho điểm   và mặt phẳng

a/ Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (P )

b/ Tìm mặt phẳng (P’ ) đối xứng với ( P ) qua M

 

Giải :

Gọi d là đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng (P ), phương trình của d có dạng

Gọi

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình

Suy ra

Vì M’ là điểm đối xứng với M qua (P ) nên I là trung điểm của MM’

Ta có

Vậy

b/ Gọi (P’ ) là mặt phẳng song song với (P ), ta có phương trình của (P’ ) có dạng

(P’ ) đối xứng với (P ) qua điểm M khi và chỉ khi

 

 

Đối chiếu điều kiện ta thấy D = 2 không thỏa mãn

Vậy

Bài 27: Cho 2 điểm  và  và đường thẳng

Nêu điều kiện để 2 điểm M1, M2 nằm về :

a/ Hai phía đối với đường thẳng d

b/ Cùng một phía đối với đường thẳng d

 

Giải :

a/ Điều kiện để  2 điểm M1, M2 nằm về hai phía đối với d là :

 

b/ Điều kiện để  2 điểm M1, M2 nằm về cùng một phía đối với d là :

 

 

 

Bài 27: Cho 2 điểm  và  và mặt phẳng

Nêu điều kiện để 2 điểm M1, M2 nằm về :

a/ Hai phía đối với mặt phẳng

b/ Cùng một phía đối với mặt phẳng

 

 

Giải :

a/ Điều kiện để  2 điểm M1, M2 nằm về hai phía đối với mặt phẳng  là :

 

b/ Điều kiện để  2 điểm M1, M2 nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng  là :

 

Bài 28:  Trong mặt phẳng Oxy cho 2 đường thẳng  và

Viết phương trình đường phân giác của góc chứa điểm  tạo bởi 2 đường thẳng d và d’

Giải :

Thay tọa độ điểm M và vế trái của phương trình mặt phẳng (P) và (Q) tacó:

4.2-3.1+1> 0

3.2-4.1+5 >0

Vậy điểm N(x;y) thuộc mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng d và d’ chứa M khi và chỉ khi

4x-3y +1> 0 ; 3x-4y +5 > 0

 

x + y- 4 = 0

Bài 28: Trong không gian Oxyz cho 2 mặt phẳng  và

Viết phương trình mặt phẳng phân giác chứa điểm  tạo bởi hai mặt phẳng (P ) và (Q )

Giải :

Thay tọa độ điểm M và vế trái của phương trình mặt phẳng (P ) và (Q ) ta có :

 

Vậy điểm  thuộc mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi 2 mặt phẳng (P) và(Q) chứa M khi và chỉ khi

 

Bài 29:  Trong mặt phẳng Oxy tìm quỹ tích các điểm M(x;y) cách đều đường thẳng  một khoảng cho trước bằng 5

Giải :

Theo giả thiết d(M,)=5

 

 

 

Vậy quỹ tích các điểm M cần tìm là 2 đường thẳng có phương trình (1) (2)

Bài 29: Trong không gian Oxyz tìm quỹ tích các điểm M(x;y) cách đều mặt phẳng (P) một khoảng cho trước bằng 5

 

Giải :

Theo giả thiết d(M,(P))=5

 

 

 

Vậy quỹ tích các điểm M cần tìm là 2 mặt phẳng có phương trình (1) (2)

Bài 30:  Trong mặt phẳng Oxy lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1;2) B(5;2) có tâm nằm trên trục Ox

Giải :

Gọi (C):  

với  là đuờng tròn cần tìm.

Vì (C ) đi qua 2 điểm A, B có tâm

I(-A;-B) nằm trên trục Ox nên ta có hệ phương trình

Vậy (C):

Bài 30: Trong không gian Oxyz lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(1;2;-4) B(1;-3;1) C(2;2;3) có tâm nằm trên mp Oxy

Giải: Gọi (S):  với  là mặt cầu cần tìm.

* Vì (S) đi qua 3 điểm A(1;2;-4) B(1;-3;1) C(2;2;3) có tâm I(-A;-B;-C) nằm trên mp Oxy

nên có hệ phương

 

Vậy (S):

Bài 31: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;3). Hãy lập phương trình đường thẳng d qua các điểm là hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Giải :

Gọi A, Alần lượt là hình chiếu của A lên các trục tọa độ Ox, Oy ta có A(2;0)

A(0;3)

Do đó đường thẳng d qua 2 điểm A, A có phương trình:

3x+2y-6=0

Bài 31: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;3;4). Hãy lập phương trình mặt phẳng (P) qua các điểm  là hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Giải :

Gọi A, A, Alần lượt là hình chiếu của A lên các trục tọa độ Ox, Oy,Oz ta có A(2;0;0) A(0;3;0) A(0;0;4)

Do đó mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,A,Acó phương trình:

6x+4y+3z-12 =0

THẦY NGUYỄN QUANG HUY 0905848655